Bu paragrafda sonli tengsizliklarning odatda asosiy deb ataladigan xossalari qaraladi, chunki ulardan tengsizliklarning boshqa xossalarini isbotlashda va ko`pgina masalalarni yechishda foydalaniladi.
|
|
1- t e o r e m a . Agar a>b va b>c bo`lsa, u holda a>c bo`ladi. |
Shartga
ko`ra a>b
va b>c.
Bu a-b>0
va b-c>0
ekanini bildiradi.
a-b
va b-c
musbat soblarni qo`shib,
(a-b)+(b-c)>0
ni hosil qilamiz, ya`ni
a-c>0.
Demak,
a>c. 
Geometrik nuqtai nazardan 1-teorema agar son o`qida a nuqta b nuqtadan o`ngda yotsa va b nuqta c nuqtadan o`ngda yotsa, u holda a nuqta c nuqtadan o`ngda yotishini bildiradi (25-rasm).
|
|
2- t e o r e m a . Agar tengsizlining ikkala qismiga ayni bir son qo`shilsa, u holda tengsizlik ishorasi o`zgarmaydi. |
a>b
bo`lsin. Bu holda ixtiyoriy
c
son uchun
a+c>b+c
tengsizlikning bajarilishini isbotlash talab qilinadi.
Ushbu
(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b
Ayirmani qaraymiz. Bu
ayirma musbat, chunki masalalning shartiga ko`ra
a>b.
Demak, a+c>b+c.
|
|
N a t i j a . Istalgan qo`shiluvchini tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga shu qo`shiluvchining ishorasini qarama-qarshisiga almashtirgan holda ko`chirish mumkin. |
a>b+c
bo`lsin. Bu tengsizlikning ikkala qismiga
–c
sonni qo`shib,
a-c>b+c –c
ni hosil
qilamiz, ya’ni
a-c>b.
|
|
3- t e o r e m a . Agar tengsizlining ikkala qismiga ayni bir musbat songa ko`paytirilsa, u holda tengsizlik ishorasi o`zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa ko`paytirilsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi. |
1)
a>b
va
c>0
bo`lsin.
ac>bc
ekanini isbotlaymiz.
Shartga ko`ra a-b>0 va c>0. Shuning uchun (a-b)c>0, ya`ni ac-bc>0. Demak, ac>bc.
2) a>b va c<0 bo`lsin. ac<bc ekanini isbotlaymiz.
Shartga ko`ra
a-b>0
va
c<0.
Shuning uchun
(a-b)c<0,
ya`ni ac-bc<0.
Demak, ac<bc.
Masalan,
<0,21
tengsizlining ikkala qismini
3
ga ko`paytirib,
<0,63
ni hosil qilamiz,
<0,21
tengsizlikning ikkala qismini
-4
ga ko`paytirib esa
>-0,84
ni hosil qilamiz.
Agar
c≠0
bo`lsa, u holda
c
va
sonlar
bir xil ishoraga ega bo`lishini ta`kidlab o`tamiz.
c
ga bo`lishni ga
ko`paytirish bilan almashtirish mumkin bo`lgani uchun 3- teoremadan quyidagi
tasdiq kelib chiqadi.
|
|
N a t i j a . Agar tengsizlining ikkala qismiga ayni bir musbat songa bo`linsa, u holda tengsizlik ishorasi o`zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa bo`linsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi. |
Masalan,
0,99<1
tengsizlikning ikkala qismini
3
ga bo`lib,
0,33<
ni
hosil qilamiz,
0,99<1
tengsizlikning ikkala qismini
-9
ga bo`lib esa
-0,11>-
ni
hosil qilamiz.
1-m a s a l a
. Agar
a>b
bo`lsa, u holda
–a<-b
bo`lishini isbotlang.
a>b
tengsizlikning ikkala qismini
-1
manfiy songa ko`paytirib,
-a<-b
ni hosil qilamiz. 
Masalan,
1,9<2,01
tengsizlikdan
-1,9>-2,01
tengsizlik kelib chiqadi,
0,63> tengsizlikdan
-0,63<- tengsizlik
kelib chiqadi.
2-m a
s a l a .
Agar a
va b
– musbat sonlar va
a>b
bo`lsa, u holda
<
bo`lishini
isbotlang.
b<a
tengsizlikning ikkala qismini
ab
musbat songa bo`lib,
< ni
hosil qilamiz.
Tengsizliklarning mazkur paragrafda qaralgan barcha xossalari >(katta) ishorali tengsizlik uchun isbotlanganini ta’kidlab o`tamiz.
Ular <(kichik) ishorali tengsizliklar uchun ham aynan shunday ibotlanadi.
