Turli masalarni yechish davomida ko`pincha tengsizliklarni qo`shish yoki ko`paytirishga, ya’ni tengsizliklarning chap qismlarini alohida  va o`ng qismlarini alohida qo`shish  yoki ko`paytirishga to`g`ri keladi. Bunday hollarda ba’zan tengsizliklar hadlab qo`shiyapti yoki hadlab ko`paytirilyapti, deyiladi.

Masalan,  agar sayyoh birinchi kuni 20 km dan ko`proq, ikkinchis kuni esa 25 km dan ko`proq yo`lni bosib o`tgan bo`lsa, u holda u ikki kun ichida 45 km dan ko`proq, deb tasdiqlash mumkin.

Xuddi shunday, agar to`g`ri to`rtburchakning bo`yi 13 sm dan kam, eni 5 sm dan kam bo`lsa, u holda shu to`g`ri to`rtburchakning yuzi 65 sm2 dan kam, deb tasdiqlash mumkin.

Bu misollarni qarashda tengsizliklarni qo`shish va ko`paytirish haqidagi quyidagi teoremalar qo`llaniladi.

 

1 – t e o r e m a . Bir ishorali tengsizliklarni qo`shishda xuddi shu ishorali tengsizliklar hosil bo`ladi: agar a > b, c > d bo`lsa, u holda a + c > b + d  bo`ladi.

 

* Shartga ko`ra a – b > 0 va c – d > 0. ushbu ayirmani qaraymiz:

(a + c) – (b + d) = a + c –  b –  d = (a – b) + (c – d)

Musbat sonlarning yig`indisi musbat bo`lganmi uchun (a – b) + (c – d) > 0, ya’ni  a + c > b + d

*M i s o l l a r :

1)

 

3 > 2,5

+

 

 

5 > 4

 

8 > 6,5

 

 

 

 

 2)

 

1,2 < 1,3

+

 

 

–3   < –2

 

–1,8 < -0,7

 

2 – t e o r e m a . Chap va o`ng qismlari  musbat bo`lgan bir xil ishorali tengsizliklarni ko`paytirish natijasida xuddi shu ishorali tengsizlik hosil bo`ladi:  a > b, c > d va a, b, c, d – musbat sonlar bo`lsa, u holda ac > bd bo`ladi.

 

* Ushbu ayirmani qaraymiz:

ac – bd = ac – bc + bc – bd = c(a – c ) + b(c – d).

Shartga ko`ra a – b > 0, c – d >0,b > 0, c > 0. shuning uchun c(a – c ) + b(c – d)>0 ya’ni ac – bd > 0, bundan ac > bd.

*M i s o l l a r :

1)

 

3,2 > 3,1

X

 

 

3    >  2

 

9,6 > 9,3

 2)

 

1,8 < 2,1

X

 

 

4    < 5

 

7,2 < 10,5

 

*1 – m  a s a l a . Agar a, b musbat sonlar va a > b bo`lsa, u holda a2 > b2 bo`ladi.

* a > b tengsizlikni o`z-o`ziga ko`paytirib, quyidagini hosil qilamiz: a2 > b2.

Shunga o`xshash a, b – musbat sonlar va a > b bo`lsa, u holda natural n soni uchun    an > bn  ekanligini isbotlash mumkin.

Masalan,  5 > 3 tengsizlikdan 55 > 35, 57 > 37 kabi tengsizliklar kelib chiqadi.

*2 – m a s a l a . Uchburchak ichida yotuvchi istalgan nuqtadan uning uchlariga bo`lgan masofalar yig`indisi shu uchburchak yarim perimetridan katta ekanini isbotlang.

* 26-rasmni qaraymiz. x, y, z – ABC uchburchakning ichki O nuqtasidan uning uchlarigacha bo`lgan masofalar bo`lsin.

AOB, AOC, BOC uchburchaklardan uchburchak ikki tomonining yig`indisi haqidagi teoremaga ko`ra:

x + y > c,

 

x + z > b

 

y + z > a

Bu tengsizliklarni hadlab qo`shib, 2x + 2y + 2z > a + b + c  ni hosil qilamiz, bundan