Ushbu masalani qaraylik.

  * 1- m a s a l a. Poyezd Toshkentdan Samarqandga tomon 60 km/soat tezlik bilan harakat qilmoqda. U jo‘nagandan t soat keyin Toshkentdan qancha masofada bo‘ladi?

* Agar izlanayotgan masofa s (km hisobida) harfi bilan belgilansa, javobni bunday formula bilan yozish mumkin:

s=60t.                             (1)

 Poyezdning harakati davomida  s yo‘l va t  vaqt o‘zgarib boradi. Shuning uchun ularni o‘zgaruvchi kattalik (miqdor )lar yoki o‘garuvchilar deyiladi. Bunda s va t ixtiyoriy ravishda emas, balki (1)  tekis harakat qonuniga bo‘ysungan holda o‘zgarishi muhim  ahamiyatga ega. Bu qonunga muvofiq t  vaqtning har bir qiymatiga s yo‘lning aniq bir qiymati mos keladi (mos qo‘yiladi). * Masalan, t=2 bo‘lganda (1) formula bo‘yicha hosil qilamiz:

s=120.

 Shunday qilib, (1) formula s yo‘lni t vaqtning berilgan qiymati bo‘yicha hisoblash qoidasini belgilaydi. Bu masalada t musbat va poyezdning Toshkentdan Samasrqandgacha harakat vaqtidan katta bo‘lishi mumkin emas.

 O‘zgaruvchi miqdor (kattalik) lar orasidagi bog‘lanishning yana bir misolini qaraymiz.

 Aytaylik, x  kvadrat tomonining uzunligi, y esa uning yuzi bo‘lsin. Bu holda

y=x2.                            (2)

(2) formula y yuzni tomonning oldindan berilgan qiymati bo‘yicha hisoblash qoidasini beradi. * Masalan, agar x=2 bo‘lsa, y=4 bo‘ladi; agar x=3 bo‘lsa, y=9 bo‘ladi va hokazo. Bu masalada  x  musbat sonlar to‘plamidan istalgan qiymatni qabul qilishi mumkin.

 Qaralgan misollarda bir o‘zgaruvchili miqdorning oldindan berilgan qiymati bo‘yicha ikkinchisining qiymatini topishga imkon beruvchi qoidalar ko‘rsatildi.

Agar biror sonlar to‘plamidan olingan x  ning bir qiymatiga biror qoida bo‘yicha y  son mos qilib qo‘yilgan bo‘lsa, u holda shu to‘plamda  funksiya aniqlangan deyiladi.

y miqdorning x  miqdorga bog‘liqligini ta’kidlash uchun ko‘pincha  y(x)  deb yoziladi (o‘qilishi: “igrek iksdan”). Bunda x ni erkli o‘zgaruvchi, y(x) ni esa erksiz o‘zgaruvchi yoki funksiya deyiladi.

 

* Masalan, kvadratning yuzi uning x  tomoni uzunligining funksiyasi bo‘ladi, ya’ni

y(x)=x2.

Bunday yozuvda y(2) tomoni 2 ga teng bo‘lgan kvadratning yuzini bildiradi, ya’ni y(2)=22=4. Xuddi shunday, y(5)=25, y(6)=36.

y(2) soni  y=x2 funksiyaning x=2 bo‘lgandagi qiymati deyiladi. Bu funksiyaning x=5 bo‘lgandagi qiymati 25 ga, x=6 bo‘lgandagi qiymati esa 36 ga teng.

Odatda erkli o‘zgaruvchi x  harfi bilan, erksiz o‘zgaruvchi esa y  harfi bilan belgilanadi. Lekin bunday belgilash majburiy emas.  * Masalan, shu paragrafning boshida qaralgan masalada s yo‘l  t  vaqtga bog‘liq, ya’ni  s  yo‘l  t  vaqtning funksiyasi. Bu holda bunday yoziladi:

s(t)=60t.

Bunday yozilishda s(2) ifoda 2 soat ichida o‘tilgan yo‘lni kilometr hisobida bildiradi, ya’ni

s(2)=60·2=120.

Xuddi shu kabi s(1)=60 va  s(3)=180.

Funksiya berilishining ba’zi usullarini qaraymiz.

 

1. Funksiya formula bilan berilishi mumkin.

* Masalan,

y=2x

formula x  ning berilgan qiymati bo‘yicha y  ning qiymatini qanday hisoblash kerakligini ko‘rsatadi. Funksiya berilishining bunday usuli analitik usul deyiladi.

 

* 2- m a s a l a . Funksiya  y=x2+x+1  formula bilan berilgan. y(–2), y(0), y(1) ni toping.

1)     Bu formulaga x=–2 ni qo‘yib, hosil qilamiz:

           y(–2)=(–2)2+(–2)+1=4–2+1=3;

2)     y(0)=02+0+1=1;

3)     y(1)=12+1+1=3.

    Javob: y(–2)=3, y(0)=1, y(1)=3.

 

* 3- m a s a l a .  Funksiya  y=–3x+5 formula bilan berilgan. x  ning shunday qiymatini topingki, unda y=–1 bo‘lsin.

* Formuladagi y  ning o‘rniga –1 sonini qo‘yib, hosil qilamiz:

–1=–3x+5.

Bu tenglamani yechib, topamiz:  3x=5+1, x=2

Javob:  x=2.

 

2. Funksiya jadval bilan berilishi mumkin.

* Masalan,

x

1

2

3

4

5

6

7

8

y

1

4

9

16

25

36

49

64

 

Bu jadvalga muvofiq x=3 qiymatga y=9 qiymat mos keladi. x=5 qiymatga y=25 qiymat mos keladi. Funksiyaning bunday berilish usuli jadval usuli deyiladi.

 

Funksiyaning jadval usilida berilishiga doir misollar: natural sonlar kvadratlari jadvali, natural sonlar kublari jadvali, bankka qo‘yilgan pul miqdoriga qarab, jamg‘armaning ko‘payib borish  jadvali.

 

 3. Amalda ko‘pincha funksiyani uning grafigi yordamida berilish usuli qo‘llaniladi.

Funksiyaning grafigi – bu koordinata tekisligini-ng abssissalari erkli o‘zgaruvchining qiymatlariga, or-dinatalari esa funksiyaning mos qiymatlariga teng bo‘l-gan barcha nuqtalari to‘plamidir.

 

* 4- m a s a l a .  y=x2+2 funksiya berilgan. Shu funksiyaning grafigiga koordinatalari: 1) (1; 3);          2) (2; 2) bo‘lgan nuqta tegishli yoki tegishli emasligini aniqlang.

1)    y  ning qiymatini x=1 bo‘lganda topamiz:

                                   y(1)=12+2=3.

   y(1)=3 bo‘lgani uchun (1; 3) nuqta berilgan funksiya grafigiga tegishli bo‘ladi.

2)    y(2)=22+2=6.

Grafikning abssissasi x=2 bo‘lgan nuqtasi y=6 ordinataga ega, shuning uchun (2; 2) nuqta berilgan funksiya grafigiga tegishli emas.

Faraz qilaylik, koordinata tekisligida biror y(x) funksiyaning grafigi tasvirlangan bo‘lsin (7-rasm). Beriklgan grafik bo‘yicha x  ning biror aniq qiymatiga y(x) funksiyaning mos qiymatini topish uchun bunday yo‘l tutamiz. Abssissalar o‘qining x  koordinatali nuqtasidan shu o‘qqa perpendikulyar o‘tkazamiz va uning berilgan funksiya grafigi bilan kesishgan nuqtasi M ni topamiz. Kesishish nuqtasining ordinatasi funksiyaning mos qiymati bo‘ladi (7-rasm).

Funksiyani grafik yordamida berilish usuli grafik usul deyildai.

Funksiyaning grafik usulda berilishidan ilmiy-tadqiqot ishlarida va hozirgi zamon ishlab chiqarishda keng foydalaniladi. U yerlarda qo‘llaniladigan o‘zi yozar asboblar temperatura, tezlik va hokazo kabi har hil kattaliklarning o‘zgarish grafiklarini avtomatik tarzda chizadi.

 

 

              

 

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

O‘zgaruzchi miqdor(kattalik), to‘plamda funksiyaning aniqlanishi, funksiya, funksiyaning berilish usullari, formula (analitik) usuli, jadval usuli, grafik usuli, funksiyaning grafigi.