* 1 – m a s a l a.   ekanini ko’rsating.

 

                                  *       .

        

T e o r e m a. Agar   bo’lsa, u holda

 

                                 

 

ya’ni kasrning ildizi uning suratining ildizini maxra-jining ildiziga bo’linganiga teng.

 

 

Bunda 1) ;   2)  ekanini isbotlash talab qilinadi.

 

 va   bo’lgani uchun  bo’ladi.

 

Kasrni darajaga ko’tarish xossasi va kvadrat ildiz ta’rifiga ko’ra

 

.

 

*Masalan,

 

 Isbotlangan teoremaga ko’ra, ildizlarni bo’lishda ildiz ostidagi ifodalarni bo’lish va natijadan ildiz chiqarish mumkin:

 

 

 

         *Masalan, .

 

         Ba’zi masalalarda kasr maxrajidagi irratsional ifodalardan qutulish foydali.

 

          ifoda berilgan bo’lsin, bunda . Kasrning surat va maxrajini   

 

ga ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:

 

.

 

*Masalan,

.

 

*2 – m a s a l a. Maxrajdagi irratsionallikni yo’qoting:

 

.

 

* Agar  ayirma  yig’indiga ko’paytirilsa, hosil bo’lgan ifodada ildizlar qatnashmaydi. Shuning uchun

 

 

 

T e o r e m a. Ikkita musbat va  sonning o’rta arifmetigi shu sonlarning o’rta geometrigidan kichik emas:

             (1)

 

 

*  ekanini isbotlash talab qilinadi.

          

Bu tengsizlik chap qismining shaklini almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:

 

 

(1)                  munosabatda tenglik belgisi faqat  bo’lganda to’g’ri bo’lishini  ta’kidlaymiz.

        

* 3 – m a s a l a. Sotuvchi olmalarni shayinli tarozida tortmoqda. Xaridor 1 kg olma oldi, so’ngra esa sotuvchidan tortishda olmalar bilan toshlarning o’rinlarini almashtirib tortishni iltimos qilib, yana 1 kg olma oldi. Agar tarozi rostlanmagan bo’lsa, kim zarar ko’radi?

        

* Aytaylik, tarozining yelkalari va  bo’lsin (47 – rasm). Rasmdan ko’rinib turibdiki, . Birinchi marta tortishda xaridor  kilogram olma oldi. Fizika kursidan ma’lumki, , bundan . Ikkinchi marta tortishda xaridor  kilogram olma oldi. Muvozanatlik shartidan , bundan .

 

 

Shunday qilib,  kilogram olma sotib olingan.  va  sonlarning o’rta arifmetigi va o’rta geometrigi uchun tengsizlikdan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:

 

 

, bundan .

 

Javob. Sotuvchi zarar ko’rdi.