1 – m a s a l a. To’g’ri to’rtburchakning asosi balandligidan 10 sm ortiq, uning yuzi esa 24 sm² ga teng. To’g’ri to’rtburchakning balandligini toping.

To’g’ri to’rtburchakning balandligi  santimetr bo’lsin, u holda uning asosi  santimetrga teng. Shu to’g’ri to’rtburchakning yuzi  sm² ga teng. Masalaning shartiga ko’ra,   =24.

Qavslarni ochib va 24 sonini qarama – qarshi ishora bilan tenglamaning chap qismiga o’tkazib, quyidagini hosil qilamiz:

.

Tenglamaning chap qismini guruhlash usuli bilan ko’paytuvchilarga ajratamiz:

Demak, tenglamani bunday yozish mumkin:

.

Bu tenglama  va  ildizlarga ega.

Kesma uzunligi manfiy son bo’la olmasligi sababli izlanayotgan balandlik 2 sm ga teng bo’ladi.

Bu masalani yechioshda kvadrat tenglama deb ataluvchi  tenglama hosil qilindi.

Kvadrat tenglamaning  , ,  koeffitsiyentlari odatda bunday ataladi:  - birinchi yoki bosh koeffitsiyent,  - ikkinchi koeffitsiyent, - ozod had.

 Masalan,  tenglamada bosh koeffitsiyent 3, ikkinchi koeffitsiyent -1, ozod had 2.

Matematika, fizika va texnikaning ko’pgina masalalarini yechish kvadrat tenglamani yechishga keltiriladi.

Kvadrat tenglamaga yana misollar keltiramiz:

               ,        

                       ,   .

Ko’pgina masalalarni yechishda algebraik shakl almashtirishlar yordamida kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar hosil bo’ladi.

 Masalan,

tenglama uning barcha hadlarini chap qismiga olib o’tgandan va o’xshahs hadlarini ixchamlangandan keyin ushbu

kvadrat tenglamaga keladi.

 2 – m a s a l a. Tenglamani yeching:

 64 ni chap qismiga olib o’tamiz va kvadrat tenglamani hosil qilamiz:

Chap qismni ko’paytuvchilarga ajratamiz:

Demak, tenglama ikkita ildizga ega: ,  

 tenglamaning birinchi ildizi 64 sonining o’rta arifmetik ildizi, ikkinchisi esa unga qarama – qarshi son ekanini ta’kidlaymiz:

,   .

Odatda, bu ikki formula birlashtirilib yoziladi:

2 – masalaga javobni  kabi yozish mumkin.

 tenglama har qanday kvadrat tenglama keltirilishi mumkin bo’lgan  tenglamaning xususiy holidir.

 ni  tenglamaning chap qismiga olib o’tamiz:

.

d>0 bo’lgani uchun arifmetik kvadrat ildizning ta’rifiga ko’ra . Shuning uchun tenglamani bunday yozish mumkin:

Bu tenglamaning chap qismini ko’paytuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:

,

bundan, , .

 Masalan,  tenglama ildizlarga ega;  tenglama  ildizlarga ega;  tenglama  ildizlarga ega.

Agar  tenglamaning o’ng qismi nolga teng bo’lsa, u holda tenglama bitta ildizga ega: .  tenglamani  ko’rinishda yozish mumkin bo’lgani uchun ba’zan  tenglama ikkita o’zaro teng ildizga ega deyiladi: .

         Agar d<0 bo’lsa, u holda  tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi, chunki haqiqiy sonning kvadrati manfiy son bo’lishi mumkin emas.  Masalan,  tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.