Kvadrat tenglamalar yordamida bir nechta masala yechamiz.

 1 – m a s a l a. Shaxtaga tosh tashlandi va uning shaxta tubiga urilganda chiqargan ovozi 9 sekunddan keyin eshitildi. Tovush tezligini 320 m/s, og’irlik kuchining tezlanishini esa g=10 m/s² deb hisoblab, shaxtaning chuqurligini aniqlang.

Shaxtaning chuqurligini topish uchun toshning shaxta tubiga tushish vaqti  t  ni aniqlash yetarli, chunki shaxtaning chuqurligi erkin tushish qonuniga ko’ra metrga teng.

Shart bo’yicha g=10 m/s². shuning uchun shaxtaning chuqurligi metrga teng.

Ikkinchi tomondan, shaxtaning chuqurligini tovush tezligi 320 m/s ni toshning shaxta tubiga borib tekkan ondan to zarba ovozi eshitulguncha o’tgan vaqtga, ya’ni sekundga ko’paytirib topish mumkin. Demak, shaxtaning chuqurligi metrga teng.

Shaxtaning chuqurligini aniqlash uchun topilgan ikki ifodani tenglashtirib, tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechamiz:

,

Hosil qilingan kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz:

, 

Toshning tushish vaqti musbat bo’lgani uchun s bo’ladi.

Demak, shaxtaning chuqurligi quyidagiga teng:

.

Javob. 320 m

 2 – m a s a l a. Tezyurar avtobus avtovokzaldan 40 km uzoqlikdagi aeroportga qarab jo’nadi. Oradan 10 minut o’tgandan keyin avtobusn ing ketidan taksida yo’lovchi jo’nadi. Taksining tezligi avtobus tezligidan 20 km/soat ortiq. Agar ular aeroportga bir vaqtda yetib kelgan bo’lsa, taksi bilan avtobusning tezligini toping.

 Avtobusning tezligi  km/soat bo’lsin, bu holda taksining tezligi km/soat bo’ladi. Avtobusning harakat vaqti  soat, taksining harakat vaqti esa  soat bo’ladi.

Masalaning shartiga ko’ra, avtobus bilan taksi harakatlari vaqti orasidagi farq qo min gat eng, ya’ni  soat. Demak,

                                                                   (1)

Hosil bo’lgan tenglamani yechamiz. Tenglamaning ikkala qismini  ga ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:

,

.

Bu tenglamaning ildizlari:

, .

 ning bu qiymatlarida (1) tenglamaga kiruvchi kasrlarning maxrajlari nolga teng emas. Shuning uchun  va  (1) tenglamaning ildizlari bo’ladi.

Avtobusning tezligi musbat bo’lgani uchun, mashinaning shartini faqat bitta ildiz qanoatlantiradi: . Shuning uchun taksining tezligi 80 km/soatga teng.

Javob. Avtobusning tezligi 60 km/soat, taksining tezligi 80 km/soat.  

 3 – m a s a l a. Qo’lyozmani kochirish uchun birinchi operator ikkinchisiga qaraganda 3 soat kam vaqt sarflaydi. Ular birgalikda ishlab hamma qo’lyozmani 6 soat – u 40 minutda ko’chirib bo’lishdi. Hamma qo’lyozmani ko’chirish uchun ularning har biriga qanchadan vaqt talab qilinadi?

 Hamma qo’lyozmani ko’chirish ishini bir birlik, deb qabul qilamiz. Birinchi operator qo’lyozmani ko’chirish uchun  soat sarflagan bo’lsin. U holda ikkinchi operatorga bu ish uchun soat talab qilinadi. Birinchi operator bir soatda ishning qismini, ikkinchisi esa  qismini bajaradi. Ular birgalikda ishlab, bir soatda hamma ishning +qismini bajarishadi, 6 soat 40 minutda, ya’ni  soatda esa ular hamma ishni bajarishadi. Shuning uchun

Bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

.

Uning ikkala qismini  ga ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:

,

,

Bu tenglamaning ildizlari:

,

 ning bu qiymatlarida (2) tenglamaga kiruvchi kasrlarning maxrajlari nolga teng emas. Shuning uchun  va  (2) tenglamaning ildizlari.

Masalaning ma’nosiga ko’ra  bo’lgani uchun . Demak, birinchi operator ishga 12 soat, ikkinchisi esa 12 soat + 3 soat = 15 soat sarflaydi.

         Javob. 12 soat va 15 soat.