Darajali funksiyaning xossalariga har xil tenglama va tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.

               1 – m a s a l a . tengsizlikni yeching.

funksiya x ning barcha haqiqiy qiymatlarida aniqlangan va o`sadi.  bo`lgani uchun x>2 bo`lganda  va x<2 bo`lganda .

Javob: x>2 .

               2 – m a s  a l  a .   tengsizlikni yeching.

 funksiya  bo`lganda kamayadi va bo`lganda o`sadi.  tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega.: . Shuning uchun  tengsizlikbo`lganda  yechimlarga va  bo`lganda  yechimlarga ega ( 45 – rasm ).

Javob:  

               3 – m a s a l a . Funksiyalarning grafiklari yordamida  tenglamani yeching.

Bitta koordinatalar tekisligida va  funksiyalarning grafiklarini yasaymiz ( 46 – rasm ).

x<0 bo`lganda tenglama ildizlarga ega emas, chunki , lekin . x>0  bo`lganda bu tenglama shu funksiyalar kesishgan nuqtasining abssissasiga teng bo`lga bitta ildizga ega. 46 – rasmdan ko`rinib turibdiki, . Tenglama boshqa musbat ildizlarga ega emas, chunki bo`lganda funksiya kamayadi., funksiya esa o`sadi va demak, funksiyalarning grafiklari  bo`lganda kesishmaydi. Xuddi shu sababga ko`ra ular bo`lganda ham kesishmaydi.

Javob:

               4 – m a s a l a . (1) tenglamani yeching.

Aytaylik, x –  berilgan tenglamani ildizi bo`lsin, ya’ni x – shunday sonki, u (1) tenglamani to`g`ri tenglika aylantiradi. Tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko`tarib, hosil qilamiz:

                                                  (2)

Bundan .

Demak, (1) tenglama ildizlarga ega, deb faraz qilib, biz bu ildizlarga faqat 1 va -1 sonlari bo`lishini mumkinligini bilib oldik, endi bu sonlar (1) tenglamaning ildizlari bo`lish yoki bo`lmasligini tekshiramiz. x=1 bo`lganda (1) tenglama to`g`ri tenglikka aylanadi: . Shuning uchun x=1_­ (1) tenglamaning ildizi.

x=-1 bo`lganda (1) tenglamaning chap qismi ga teng, o`ng qismi esa -1 ga teng, ya’ni x= - 1 (1) tenglamaning ildizi bo`la olmaydi.

Javob: x=1_­.

Qaralgan masalada (1) tenglama uning ikkala qismini kvadratga ko`tarish yo`li bilan yechiladi. Bunda (2) tenglama hosil bo`ladi.

(1) tenglama faqat bitta ildizga ega: x=1, (2) tenglamaga o`tishda chet ildizlar deb ataluvchi ildizlar paydo bo`ldi. Bu shuning uchun ham paydo bo`ldiki, x=-1 bo`lganda (1) tenglama 1=-1 dan iborat noto`g`ri tenglikka aylandi, bu noto`g`ri tenglikning ikkala qismini kvadratga kotarishda esa  dan iborat to`g`ri tenglik hosil bo`ldi.

Shunday qilib, tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko`tarishda chet ildizlar paydo bo`lishi mumkin.

Tenglamani uning ikkala qismini kvadratga ko`tarish bilan yechishda tekshirish o`tkazish zarur.

(1)  tenglama – irratsional tenglamaga misol.

Yana irratsional tenglamalarga misol keltiramiz:

                                 .

Bir nechta irratsional tenglamalarni yechishni qarymiz.

 

               5 – m a  s a l a .  tenglamani yeching.

Tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko`taramiz:

                                

Yoki , bundan . Topilgan ildizlarni tekshiramiz.

x=2 bo`lganda berilga tenglamaning chap qismini ga teng, o`ng qismi    1-2=-1ga teng.  bo`lganligi uchun x=2 berilgan tenglamaning ildizi bo`la olmaydi.

x=-2 bo`lganda tenglamaning chap qismini  ga teng, o`ng qismi 1-(-2)=3 ga teng. Demak, x=-2 berilgan tenglamaning ildizi.

Javob: x=-2.

               6 – m a s a l a .  Tenglamani yeching:

Bu tenglamani  ko`rinishda yozib olaylik.

Arifmetik ildiz manfiy bo`lishi mumkin emas, binobarin, bu tenglama ildizga ega emas.

Javob: Ildizlari yo`q.

               7 – m a s a l a .  Tenglamani yeching: .

Tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko`tarib, hosil qilamiz:

 

                                 .

Oxirgi tenglamaning ixchamlab, tenglamani buday ko`rinishda yozamiz.

                                  yoki .

Oxirgi tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko`taraylik:

                                  yoki ,

bunda x₁=2,    x₂=10. Tekshirish 2 va 10 sonlardan har bir berilgan tenglamaning ildizi bo`lishini ko`rsating.

Javob: x₁=2,    x₂=10.

     TAYANCH   TUSHUNCHALAR:

                               

                        Chet ildizlar, Irratsional tenglama.